“三分损益法”和“五度相生律”，有什么区别？

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“三分损益法”和“五度相生律”，有什么区别？
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了解十二平均律的诞生的同学们可能都会知道，“三分损益法”与“五度相生律”在发明十二平均律的过程中是有着举足轻重的地位的。这两者都是在一个基音的基础上，通过一定的数学关系来给音阶内其余各音进行定音的。很多时候，人们都习惯于把这二者混为一谈。

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三分损益法和五度相生律在生律方法、生律原理等方面虽然有着一定的相似性，但事实上，它们并不是同一个东西，并且是分别孕育于古代中国和古希腊这两种不同的文化的。
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01、三分损益法
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! Q* ^0 q  [7 @" }! w8 j+ Y作为中国音乐的“乐制之祖”，有关“三分损益法”的记载，最早可见于春秋时期的《管子•地员篇》，这个时候的“三分损益法”是与宫、徵、商、羽、角五音的记载相联系的。至《吕氏春秋•音律篇》成书之后，“三分损益法”又开始与关于黄钟、林钟等十二律长度的规范相联系。

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: s# I1 Q% F! X8 }. k- k" f此外，汉代之后历代的《律历制》中也大多都载有关于这种生律法的内容。
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1 [7 l& F  r: ]6 I  J, j& i/ X) q$ P我国古代定音是采用十二支不同长度和音高的律管来进行的。我们都知道，在管乐中，气柱越长，音调越低；气柱越短，音调越高。“三分损益法”就是将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可以求得基音上方的五度音或下方的四度音。
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“损一”时，律管原长度与新长度的比例是3：2；“益一”时，律管原长度与新长度的比例是3：4。相应地，“损一”时律管原基准频率与新基准频率的比例是2：3；“益一”时，律管原基准频率与新基准频率的比例是4：3。
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在“三分损益法”的生律过程中，“损一”和“益一”是交替进行的，即这种生律法不是一味地“损一”，也不是一味地“益一”，而是将二者在生律过程中均衡地穿插。
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以宫、商、角、徵、羽五个正声为例，以宫音为基音，宫音“损一”可得上五度音徵音，徵音“益一”可得下四度音商音，商音“损一”可得上五度音羽音，羽音“益一”可得下四度音角音。

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  W. Z5 ?# f9 P& I3 [% R/ z如果要得到一个八度内的十二个音的话，那就需要从基音出发，交替着“损一”5次和“益一”6次，或者交替着“益一”5次和“损一”6次。
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“先损后益”的十二律生律次序如下图，其中最后一律的准确表达应该是E#音，不能等同于F音：

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02、五度相生律

! S% @9 `, P, \7 N" [; H在公元前6世纪的西方，古希腊哲学科学家毕达哥拉斯及其学派首先提出了“五度相生律”这一生律法则。毕达哥拉斯及其学派认为弦长比分别为2：1、3：2、4：3时所发出的相隔八度、纯五度、纯四度的音程是出色的协和音程。
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因此，在除了完全协和的八度之外的音程中，纯五度便成了他们在生律过程中最重要的一个音程，而“五度相生律”也因此而产生。
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在具体的生律过程中，不同于“三分损益法”，“五度相生律”要求以某一个音为基音，然后将频率比为3：2的纯五度音程作为生律要素，分别向基音的上下两个方向同时生音。向上五次、向下六次或者向上六次、向下五次即可得到十二律。



2 q- s+ r+ x  F9 @' T! |比如说，假设以C为基音，按照五度相生法连续向上五次可得到G、D、A、E、B：

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6 x- i1 n5 ~1 Y( X/ Y连续向下六次可得到F、Bb、Eb、Ab、Db、Gb：
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03、两种生律法的比较
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& B8 W5 i, F6 I5 z三分损益法与五度相生律的相同之处在于，二者在生律过程中都少不了3：2这个比例的运用。此外，二者最终得到的十二律都是“十二不平均律”，都存在着第12次生律时基音无法还原的问题。毕竟，奠定了现代律制基础的“十二平均律”的出现，无论是中国还是西方，都要等到将近两千年后了。

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二者的不同之处则在于，三分损益法生出的变化音都带有升号，把十二个音放在一个八度内，可得：

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; ]4 V, U  \2 z. R" o& g' C而五度相生律生出的变化音则都带有降号，把十二个音放在一个八度内，可得：
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其中，由于三分损益法在具体的生律过程中，除了3：2的比例之外，还用到了3：4的比例，故而其与五度相生律得到的一些音会存在一些音分级别的差异。即，三分损益法产生的带有降号的音要比由五度相生律产生的带有升号的同名音高出24音分，也就是通常所认为的较大音差。

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此外，在前文我们就提到过，三分损益法得到的音阶四级音应该是E#音而不是F音，而五度相生律得到的音阶四级音直接就是F音。
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这是因为，五度相生律的四级音F是由基音向下纯五度所生，并将其提高一个八度所得的，其距始发律为498音分；而三分损益法中的仲吕律（F，准确表述应是E#）则是由无射律（A#）求上五度或下四度所得的，其距始发律为522音分。

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4 F, L" c0 I" e4 t于是，我们可以得出结论：三分损益法与五度相生律在以同一音为基音进行生律所得到的十二律同为十二不平均律，但二者的十二律中仅有六律（C、D、E、G、A、B）相同，其余所有变化音级以及音阶四级音都不相同。