调制中的频谱混叠

40340231 · 发表于 2020-4-12

调制中的频谱混叠

人类在无线通信的实践过程中使用信号调制的方式来将传递的信号的频谱搬移到高频，通过天线完成电磁波的发送与接收。这种信号调制方式作为信号频谱分析的应用，也是信号与系统课程中的重要内容。
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▲ 无线通讯方式及其天线
本文对信号幅度调制和解调进行讨论。通过公式、波形、频谱分析对幅度调制中的混叠现象进行描述。
幅度调制

信号调制中，幅度调制形式简单，应用广泛。在形式可以描述成信号与载波信号的乘积关系。在实际工程中，载波信号的频率通常远大于信号的最高频率。后期通过同步解调方式，可以从调制信号中恢复出原来的信号。
下面公式描述了幅度调制（载波抑制调幅）的过程：
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实现的系统框图显示如下：
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▲ 信号幅度调制的系统框图
下面通过波形显示了幅度正弦调制的过程。其中信号的频率为1kHz，载波的频率为30kHz。这样选择只是为了能够从波形上还可以看出两个信号的波形。实际中往往载波的频谱比调制信号的频率高出两三个数量级以上。

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▲ 载波信号与低频调制信号
下图显示了信号与载波信号相乘之后的调幅波形。
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▲ 幅度调制信号
幅度调制后的信号频谱是原来信号的频谱分别左右搬移到载波频率附近的位置，形成高频信号。下面显示了前面正弦信号调制后的频谱。
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▲ 载波抑制幅度调制信号的频谱
下面显示了对高斯信号调制后的信号波形：

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▲ 调制信号与载波信号
高斯信号条幅后的波形如下图所示。它对应的频谱与前面正弦波调制后的频谱相比只是将原来的一对冲激频谱改成了高斯信号频谱。这是由于高斯信号的傅里叶变换也是高斯信号。
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▲ 高斯信号调制后的波形
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▲ 高斯信号调制信号频谱示意图

40340231 · 发表于 2020-4-12

复震荡信号调制

为了避免幅度调制后的频率混叠带来信号恢复的困难，在实践中，可以采用复震荡信号调制的方式。也就是将原来的信号调制在一对相位相差90°（正交）的载波信号上，形成一对正交调制信号。在数学上，可以将这对信号看成复数的实部和虚部，所组成的复值信号的频谱则是原来信号的频谱往右平移，自然就没有了混叠的问题。
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▲ 复震荡信号调制框图
下面公式表示复指数震荡信号的调制的过程：

下图显示了上面复指数调制后的实部、虚部两路信号波形。
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▲ 复指数调制后的两路波形
如果需要恢复出原来的信号，则将原来的信号乘以前面复震荡信号的共轭信号，所生成信号的实部就是恢复的原来信号了。
根据复数的乘法运算，复数乘积的实部等于原来两个复数的实部相乘，减去虚部相乘的结果。

因此对应的复指数震荡信号同步解调过程就是：

下图显示了使用复指数调制后的实部和虚部分别与相乘之后的波形（蓝色，橙色），他们相加之后的波形（绿色）就是回复后的高斯波形。

▲ 进行复指数回复后的波形

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如果信号f(t) 的幅值始终大于零0，即f(t)≥0，那么从复震荡调制信号恢复原来信号还可以简单的通过求复调制信号的幅度来恢复：

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